# ABC117 D - XXOR

# 概要

NN個の非負整数A1,A2,...,AnA_1, A_2, ..., A_nおよびKKが与えられる.
00以上KK以下の整数XXに対して, f(X)=(XxorA1)+...+(XxorAn)f(X) = (X xor A_1) + ... + (X xor A_n)としたとき, ffの最大値を求めよ.

# 解法

桁DPで解く.

dp[i][j] := 上位iビットまで見た時に, k以下であることが(j?確定:未確定)であるときの最大値

その上で, 上位(i+1)ビット目から上位(i)ビット目の遷移を考える.

# 1. 確定状態から確定状態

この遷移は, 遷移元が既に確定状態に入っているため, Xのiビット目として0と1のどちらが来ても必ず確定状態のままである.
したがって, 0と1の両方を比較して値が大きくなる方を選択して遷移すれば良い.

dp[i][1] = max(dp[i][1], dp[i+1][1] + (1<<i)*max(num, n-num));

# 2. 未確定状態から確定状態

この遷移は, 遷移元が未確定状態に入っているため, kのiビット目が1の時にXのiビット目として0が来なければならない.
したがって, Xのiビット目が0となる\LongleftrightarrowAのiビット目で1が立っている方に遷移させれば良い.

if (k & (1<<i)) {
  dp[i][1] = max(dp[i][1], dp[i+1][0] + (1<<i)*num;
}

# 3. 未確定状態から未確定状態

この遷移になるものは2種類ある.
1種類目は, kのiビット目が0かつXのiビット目が0のとき.
2種類目は, kのiビット目が1かつXのiビット目が1のとき.

# 1) kのiビット目が0かつXのiビット目が0のとき

Xのiビット目が0となる\LongleftrightarrowAのiビット目で1が立っている

if (!(k & (1<<i))) {
  dp[i][0] = max(dp[i][0], dp[i+1][0] + (1<<i)*num;
}

# 2) kのiビット目が1かつXのiビット目が1のとき

Xのiビット目が1となる\LongleftrightarrowAのiビット目で0が立っている

if (k & (1<<i)) {
  dp[i][0] = max(dp[i][0], dp[i+1][0] + (1<<i)*(n-num);
}

以上より, 遷移をまとめると以下のようになる.

dp[i][1] = max(dp[i][1], dp[i+1][1] + (1<<i)*max(num, n-num));
if (k & (1<<i)){
  dp[i][1] = max(dp[i][1], dp[i+1][0] + (1<<i)*num);
  dp[i][0] = max(dp[i][0], dp[i+1][0] + (1<<i)*(n-num));
} else {
  dp[i][0] = max(dp[i][0], dp[i+1][0] + (1<<i)*num);
}

桁DPの遷移は実装できたので, あとは残りの部分を実装するだけ.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using int64 = int64_t;
#define int int64

// dp[i][j] := ibit目まで見てそこまでの値がk未満で(0:ない, 1:ある)時の最大値
int dp[60][2];

signed main(){
  int n,k;
  cin >> n >> k;
  vector< int > a(n);
  for(int i=0; i<n; ++i) cin >> a[i];
  memset(dp, -1, sizeof(dp));

  dp[45][0] = 0;
  for(int bi=44; bi>=0; --bi){
    int on_bit_num = 0;
    for(int ai=0; ai<n; ++ai){
      if((a[ai] >> bi) & 1) ++on_bit_num;
    }

    int digit = (1LL << bi);
    if(dp[bi+1][1] >= 0){
      dp[bi][1] = max(dp[bi][1], dp[bi+1][1] + digit * max(on_bit_num, n-on_bit_num));
    }     
    if(dp[bi+1][0] >= 0){
      if ((k >> bi) & 1){
        dp[bi][1] = max(dp[bi][1], dp[bi+1][0] + digit * on_bit_num);
        dp[bi][0] = max(dp[bi][0], dp[bi+1][0] + digit * (n-on_bit_num));
      } else {
        dp[bi][0] = max(dp[bi][0], dp[bi+1][0] + digit * on_bit_num);
      }     
    }
  }

  int ans = max(dp[0][0], dp[0][1]);
  cout << ans << endl;
  return 0;
}


以上.
ほとんどけんちょんさんの記事を参考にしました.
お疲れ様でした.

# 参考資料

Last Updated: 2019-3-14 02:04:59